Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ  ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΟΥΣ ΣΤΑ Σ.Δ.Ε.

Μενιουδάκη Ευανθία-Ελένη ,  Msc, Μαθηματικός, Μενιουδάκη Ευανθία-Ελένη, 4ο  Γενικό Λύκειο Χανίων,

Δρ Σιδηρόπουλος Νικόλαος,  Μαθηματικός, Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Χανίων,

 

 Περίληψη

Στην καθημερινή μας ρουτίνα , όταν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο μεγέθη , χρησιμοποιούμε συχνά τις φράσεις « συγκρίσιμα μεγέθη ” , “λόγος ” , ” αναλογίες ” . Τις  χρησιμοποιούμε  όταν πάμε για ψώνια , όταν θέλουμε να χωρίσουμε κάτι σε ” ανάλογα ” μέρη , όταν μιλάμε με οικονομικούς όρους . Ενστικτωδώς τα χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να επιλέξουμε ένα σχήμα μεταξύ άλλων , κάτι που καλλιτέχνες και διαφημιστικές εταιρείες φαίνεται να γνωρίζουν πολύ καλά ! Είναι προφανές ότι η έννοια της αναλογικότητας δεν είναι μόνο ένα μέρος των μαθηματικών , αλλά και ένα μέρος της καθημερινής μας επικοινωνίας , επομένως η διαθεματική παρουσίαση αυτής της περιοχής θα μπορούσε να είναι περισσότερο από ενδιαφέρουσα – και σίγουρα χρήσιμη για τους μαθητευόμενους των Σχολείων Δεύτερης Ευκαιρίας .

Λέξεις-Κλειδιά: συγκρίσιμα μεγέθη, λόγος, αναλογίες, geogebra, διαθεματικότητα

Abstract

In our daily routine, when we are about to compare two sizes, we often use the phrases “comparable sums”, “ratio”, “proportions”. We use them when we go shopping, when we want to split something in “fair” shares, when we talk in economic terms. We instinctively use them when we want to choose a shape among others, something that artists and advertising companies seem to know very well!                                                                                                                                                It is obvious that the concept of proportionality is not only a part of maths, but also a part of our daily communication, so the cross-curricular presentation of this area could be more than interesting – and surely useful- to the adult students.

 Το Θεώρημα του Θαλή

   Ένα σύντομο βιογραφικό του Θαλή  Ο Θαλής ο Μιλήσιος (624-546 π.Χ., γεννημένος στη Μίλητο της Μικράς Ασίας, ήταν ένας προ-Σωκρατικός Έλληνας φιλόσοφος, ένας από τους Επτά Σοφούς της Αρχαίας Ελλάδας, ο οποίος προσπάθησε να εξηγήσει τα φυσικά φαινόμενα χωρίς αναφορά σε μυθολογία. Πέθανε περίπου 30 χρόνια πριν από την εποχή του Πυθαγόρα και 300 χρόνια πριν από τον Ευκλείδη, ως εκ τούτου ο Θαλής συχνά αποκαλείται ως «ο πρώτος Έλληνας μαθηματικός». Όντας επίσης  μηχανικός,  επιχειρηματίας, γιατρός, μαθηματικός και αστρονόμος, ο Θαλής κάλυπτε ολόκληρη τη φάση της ανθρώπινης πνευματικότητας και δραστηριότητα. Ίδρυσε, διήυθηνε και δίδαξε στο πρώτο πανεπιστήμιο του κόσμου, στη Μιλήτο. Ήταν ο πρώτος Ευρωπαίος αστρονόμος (χρησιμοποιώντας τη γνώση που απέκτησε από τους Αιγυπτίους), ο οποίος προέβλεψε με ακρίβεια μια ολική έκλειψη του ήλιου.      Ο Θαλής, χρησιμοποιώντας αστρονομικά δεδομένα, έκανε μετεωρολογικές προβλέψεις, με βάση τις οποίες καθόριζε τις δραστηριότητες της επιχείρησής του που σχετιζόταν με γεωργικά προϊόντα. Προέτρεψε τους ναυτικούς να χρησιμοποιούν την Μικρή Άρκτο για να προσανατολιστούν, αντί της Μεγάλης Άρκτου. Σύμφωνα με τον ιστορικό Ηρόδοτο, ο Θαλής διαμοίρασε τα νερά του ποταμού Άλυ για να είναι βατός από τον στρατό. Άλλη αναφορά από τον ιστορικός Ιερώνυμο, αναφέρει ότι ο Θαλής δίδαξε τους Αιγύπτιους ιερείς πώς να μετρήσουν το ύψος των πυραμίδων χρησιμοποιώντας τη σκιά τους (περιγράφεται παρακάτω). Άλλες εφαρμογές των θεωρημάτων αναλογίες που οφείλονται στο Θαλή, είναι η διαίρεση ενός γραμμικού τμήματος  -ή ενός κομματιού υφάσματος, ή μιας σανίδας! – σε ίσα ή ανάλογα μέρη, η προβολή μιας ταινίας ή διαφανειών, zoom-in ή zoom-out, και τόσες άλλες.   Το πιο γνωστό θεώρημα του Θαλή είναι το ακόλουθο:

Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες  ευθείες c,d,e τέμνουν δύο άλλες μη-παράλληλες ευθείες a.b, τότε οι c,d,e ορίζουν στις a,b μέρη ανάλογα, δηλαδή

Αντίστροφα,

Αν τρεις ή περισσότερες ευθείες c,d,e τέμνουν δύο άλλες μη-παράλληλες ευθείες a.b και οι c,d,e ορίζουν στις a,b μέρη ανάλογα, δηλαδή

τότε οι ευθείες c,d,e είναι παράλληλες.

 1.1 Εφαρμογές

Το θεώρημα του Θαλή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση καθημερινών προβλημάτων όπως:

i ) στα προβλήματα μέτρησης,

  1. ii) στα προβλήματα ομοιότητας

iii) στα προβλήματα αναλογιών

iv ) στην τέχνη και τη μουσική

  1. Τοποθέτηση των βασικών προβλημάτων-Αφόρμηση

 

  • Ένας ξυλουργός θέλει να χωρίσει μία σανίδα μήκους 2 μέτρων σε 4 μέρη, ανά δύο ίσα και με λόγο  των ανόμοιων τμημάτων  3:2, για να φτιάξει μία κορνίζα. Σε ποια σημεία πρέπει να κόψει το ξύλο;
  • Μία μοδίστρα έχει ένα μεγάλο ορθογώνιο κομμάτι ύφασμα και θέλει με αυτό να ράψει 5 κουρτίνες, που το πλάτος της κάθε μιας να είναι το διπλάσιο της προηγούμενής της . Πώς θα βρει τα σημεία που πρέπει σημαδέψει το μήκος του υφάσματος που είναι 28 μέτρα, για να κόψει τις λωρίδες που χρειάζεται;
  • Ένας ελαιοχρωματιστής θέλει να εκτιμήσει πόσες ημέρες εργασίας χρειάζεται για να βάψει την πρόσοψη ενός κτιρίου ώστε να δώσει μία προσφορά στον ιδιοκτήτη. Σε μία μέρα βάφει 20 τετραγωνικά μέτρα. Το πλάτος του κτιρίου είναι 100 μέτρα. Πώς μπορεί να εκτιμήσει το ύψος του κτιρίου?

 

  • Ένας οικοδόμος θέλει να φτιάξει μία στέγη κεραμιδιών που να έχει στο εσωτερικό της μία σοφίτα. Το ύψος της σοφίτας θέλει να είναι 2,4 μέτρα και το πλάτος της 4 μέτρα. Αν το πλάτος της ταράτσας είναι 10 μέτρα, πόσο πρέπει να είναι το ύψος της κεραμιδοσκεπής;

 

  • Μία κομμώτρια θέλει να βάψει τα μαλλιά της πελάτισσάς της σε μία απόχρωση που για να την πετύχει χρειάζεται να αναμείξει 3 διαφορετικά σωληνάρια Α, Β, Γ, σε αναλογία 1:3:4. Κάθε σωληνάριο περιέχει 120 γραμμάρια βαφής και η κομμώτρια χρειάζεται συνολικά 80 γραμμάρια τελικής βαφής για την πελάτισσά της. Πόσα γραμμάρια πρέπει να πάρει από το κάθε σωληνάριο Α, Β, Γ;

Τα δύο προβλήματα ανάγονται στο πρόβλημα της διαμέρισης ενός ευθύγραμμου τμήματος  σε μέρη ίσα ή σε μέρη ανάλογα.

 

2.1 Πρόβλημα-μοντέλο 1

 Σιδηρόπουλος 1

”Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα AC. Να χωριστεί το ευθύγραμμο τμήμα αυτό σε

Α) σε 4 ίσα μέρη

Β) σε 4 μέρη AE, EH, HI, IC, τέτοια ώστε  EH=2AE, HI=3AE, IC=4AE

Γ) σε δύο τμήματα με αναλογία  2:3”

 

Παρατήρηση: Θεωρούμε ότι το μήκος του δοσμένου ευθύγραμμου τμήματος είναι «δύσκολο να εκτιμηθεί, επομένως και να χωριστεί», για παράδειγμα το μήκος του υφάσματος της μοδίστρας είναι μεγαλύτερο της μεζούρας της, το μήκος της σανίδας του ξυλουργού δεν είναι ακέραιος αριθμός, οπότε αν θέλουμε χωρισμό με ακρίβεια, χρειαζόμαστε μία μεθοδολογία.

 

Βοήθεια: Θα χρησιμοποιήσουμε το βοηθητικό ευθύγραμμο τμήμα BC του οποίου μπορούμε να μετρήσουμε το μήκος και να το χωρίσουμε «εύκολα» σε μικρότερα ευθύγραμμα τμήματα, π.χ. το BC μπορεί να είναι το ξύλινο μέτρο του ξυλουργού ή η μεζούρα της μοδίστρας

μοντελο 1

Α) Βρίσκουμε πάνω στο  BC τα αντίστοιχα σημεία E’, H’, I’, που ικανοποιούν τις σχέσεις που θέλουμε και φέρουμε ευθύγραμμα τμήματα AB και EE’, HH’, II’ παράλληλα στο AB.

μοντελο 1 (3)

 

Β)  Παρατηρούμε ότι  AC=  AE+EH+HI+IC = AE+2AE+3AE+4AE  =10AE, επομένως  θέλουμε να χωρίσουμε το AC σε 10 ίσα τμήματα, και επιλέγουμε τα σημεία E, H, I όπως τα θέλουμε (εργαζόμενοι όπως πριν)

μοντέλο 1

2.2 Πρόβλημα μοντέλο 2

Υπολογισμός του ύψους της πυραμίδας του Χέοπος.Ø Χρησιμοποιούμε το αρχείο Geogebra ” ΘΑΛΗΣ.ggb ” .

1234μοντελο2μοντεό2

 

2.2.1 Εφαρμογές του προβλήματος μοντέλου 2

 

  • Το πρόβλημα μέτρησης του ύψους του κτιρίου από τον ελαιοχρωματιστή, είναι ταυτόσημο  με το πρόβλημα μέτρησης του ύψους της πυραμίδας από το Θαλή, επομένως μετρώντας το μήκος της σκιάς του κτιρίου και το μήκος της σκιάς ενός βοηθητικού ξύλου (π.χ. του γαλλικού μέτρου), μπορούμε να μετρήσουμε το ύψος του κτιρίου.

 

  • Η κατασκευή της σκεπής

 

 Διαφάνεια5

 

 

Εφαρμόζοντας  όπως και πριν τις αναλογίες, αν x είναι το ύψος της σκεπής, τότε

,δηλαδή 3.x=5.2.4, που σημαίνει ότι   3.x=12, επομένως x=4.

Η στέγη πρέπει να έχει 4 μέτρα ύψος.

2.3 Πρόβλημα μοντέλο 3

Έχουμε τρία δοχεία με υγρά Α, Β, Γ. Το υγρό Α είναι 150 γραμμάρια, το Β 130 γραμμάρια και το Γ 200 γραμμάρια. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα μίγμα 80 γραμμαρίων που να περιέχει:

Α) αναλογία 1:4:5 από τα Α, Β, Γ αντίστοιχα, ή

Β) ποσοστό 20% από το Α, 45% από το Β και 35% από το Γ.

Πόσα γραμμάρια από κάθε υγρό πρέπει να χρησιμοποιήσουμε σε κάθε περίπτωση;

Το πρόβλημα ποσοστών λύνεται :

Α) η αναλογία 1:4:5 που δίνεται σημαίνει ότι στα συνολικά 1+4+5=10 μέρη του μίγματος που θέλουμε να φτιάξουμε, το 1 μέρος θέλουμε να είναι υγρό Α, τα 4 μέρη να είναι Β και τα 5 μέρη να είναι Γ. Δηλαδή το 1/10 του μίγματος είναι Α, τα 4/10 είναι Β και τα 5/10 είναι Γ. Επομένως αφού χρειαζόμαστε 80 γραμμάρια μίγματος,

τα γραμμάρια του υγρού Α θα πρέπει να είναι 1/10.80=8 γραμμάρια,

τα γραμμάρια του υγρού Β θα πρέπει να είναι 4/10.80=32 γραμμάρια και

τα γραμμάρια του υγρού Γ θα πρέπει να είναι 5/10.80=40 γραμμάρια.

Β) στην περίπτωση αυτή, στα 100 μέρη μίγματος που χρειαζόμαστε, τα 20/100 είναι υγρό Α, τα 45/100 είναι υγρό Β και τα 35/100 είναι υγρό Γ. Εργαζόμαστε όπως στο Α.

Εφαρμογές του προβλήματος μοντέλου 3

 

Το πρόβλημα κατασκευής βαφής της κομμώτριας, είναι  άμεση εφαρμογή του προβλήματος μοντέλου 3.

 

Μαθηματικές αναλογίες και Αισθητική Αγωγή

Ψάχνοντας την ιδανική μέθοδο διαίρεσης ενός ευθύγραμμου μήκους, οι αρχαίοι Έλληνες είχαν την ιδέα να χωρίσουν έτσι το μήκος, ώστε το μικρότερο κομμάτι να είναι σε σχέση με το μεγαλύτερο, ότι το μεγαλύτερο σε σχέση με το συνολικό μήκος.

 

Δηλαδή το κομμάτι ΒΓ είναι τόσο μικρότερο απ’ το ΑΒ όσο το ΑΒ απ’ το ΑΓ.
ΑΒ / ΒΓ = ΑΓ / ΑΒ = Φ = 1.618…

Ένα ορθογώνιο του οποίου το πηλίκο του μήκους προς το πλάτος  ισούται με Φ, καλείται χρυσό ορθογώνιο.

μοντελο3

O αριθμός Φ σαν αναλογία διαστάσεων αν και θεωρείται αρχαιοελληνική επινόηση, συναντάται πολύ συχνά στην φύση από λουλούδια μέχρι όστρακα και από τις αναλογίες διαστάσεων των ανθρωπίνων μελών μέχρι διάφορα έργα τέχνης.

Τελικά μια αρκετά καλή προσέγγιση του Φ είναι : 1.61803398874989484820458683436564…

2.3.1 Εφαρμογές του Φ…

  • Στο ανθρώπινο σώμα

Κάθε δάκτυλο αποτελείται από τρεις φάλαγγες. Συνήθως η μεσαία φάλαγγα είναι 1.618 φορές πιο κοντή απ’ την προηγούμενη και 1.618 φορές πιο μακριά απ’ την επόμενη.

Τον αριθμό Φ θα βρούμε και πάλι ως πηλίκο…..

  • του μήκους του μπράτσου σε σχέση με το μήκος του πήχη
  • των αντίστοιχων μετρήσεων στο πόδι
  • της απόστασης από την κορυφή της κεφαλής μέχρι την άκρη των δακτύλων των ποδιών στο πάτωμα και της απόστασης από τον αφαλό έως το πάτωμα.
  • της απόστασης από την αρχή του ώμου ως την άκρη των δακτύλων των χεριών και της απόστασης από τον αγκώνα έως την άκρη των δακτύλων
  • του μήκους και του φάρδους του προσώπου
  • της απόστασης μεταξύ των χειλιών και του σημείου που σμίγουν τα φρύδια προς το μήκος της μύτης
  • του μήκους του στόματος προς το φάρδος της μύτης
  • της απόστασης μεταξύ της γραμμής του ώμου και της κορυφής του κεφαλιού προς το μήκος του κεφαλιού
  • της απόστασης μεταξύ του ομφαλού και του γονάτου προς την απόσταση μεταξύ του γονάτου και της άκρης του ποδιού
  • της απόστασης μεταξύ του άκρου του δαχτύλου του χεριού και του αγκώνα προς την απόσταση μεταξύ του καρπού και του αγκώνα.

Διαφάνεια7

  • Στη φύση
  • Διαιρέστε τον αριθμό των θηλυκών μελισσών με εκείνον των αρσενικών σε οποιαδήποτε κυψέλη στο κόσμο και θα βρείτε πάντα τον ίδιο αριθμό: το Φ.
  • Στη δομή των όστρακων, στην ανάπτυξη των κλαδιών των φυτών, στον ηλίανθο

 

Ø  Στην αρχιτεκτονικήv  Στην κατασκευή του Παρθενώνα. Άλλωστε προς τιμή του αρχιτέκτονά του Φειδία έχει δοθεί ο συμβολισμός Φ στον αριθμό αυτό.v  Στην κατασκευή των αρχαίων θεάτρων

  • Στην τέχνη
  • Τη χρησιμοποίησαν πολλοί ζωγράφοι όπως ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι όταν ζωγράφιζε τον άνθρωπο του Βιτρούβιου, τη Τζοκόντα

 

  • Στη γλυπτική σε αμέτρητα έργα της αρχαιότητας –και όχι μόνο

 

  • Στη μουσική

Τον αριθμό Φ τον συναντάμε

  • στην οργανική δομή των σονατών του Μότσαρτ
  • στην 5η Συμφωνία του Μπετόβεν

 

Εφαρμογή μέσα στην τάξη

Ας ζωγραφίσουμε ένα πρόσωπο ή ένα άγαλμα χρησιμοποιώντας τις χρυσές αναλογίες.

Διαφάνεια8

 

Επίλογος

Η διδακτική αυτή πρόταση, στοχεύει να αναδείξει τη σύνδεση των εννοιών του ποσοστού και της αναλογίας με την επίλυση καθημερινών προβλημάτων που συχνά αντιμετωπίζουν οι εκπαιδευόμενοι στα Σχολεία Δεύτερης Ευκαιρίας. Η πρόταση έχει εφαρμοστεί επιτυχώς σε Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Οι περισσότεροι εκπαιδευόμενοι εκφράζουν απορία, αλλά συγχρόνως ικανοποιούνται που η κατανόηση μαθηματικών εννοιών συνδέεται με την επίλυση καθημερινών προβλημάτων. Τα σύγχρονα μαθηματικά λογισμικά (Geogebra), τους δίνουν τη δυνατότητα να συγκεράσουν αρμονικά  το θεώρημα του Θαλή και τις αναλογίες με καταστάσεις στην επαγγελματική τους ζωή που καλούνται να αντιμετωπίσουν. Αποτελεί πρόκληση για τους εκπαιδευτικούς να αποφύγουν το μετωπικό τρόπο διδασκαλίας και να σχεδιάσουν κατάλληλες δραστηριότητες, ώστε άμεσα οι εκπαιδευόμενοι να κατανοούν τις μαθηματικές έννοιες.

 

Βιβλιογραφία

Τουμάσης Μ.(1999), Πώς να ενεργοποιήσουμε τα παιδιά στο μάθημα των Μαθηματικών, Αθήνα, Κωστόγιαννος

Ρήγας Θ. (2004), Διδακτική μεθοδολογία των Μαθηματικών, Αθήνα, Κοκοτσάκη

Περιοδικά της ΕΜΕ, εκδόσεις Β.

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%98%CE%B1%CE%BB%CE%AE%CF%82